Estructuras  algebraicas

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DEPARTAMENTO PROFESOR/ES
Matemáticas y Computación José María Pérez Izquierdo   (Responsable)
TITULACIONES EN LAS QUE SE IMPARTE LA ASIGNATURA
Titulación Carácter Curso Semestre Créditos Guía Docente
Grado en Matemáticas Obligatoria 3 Primer Semestre 6 pdf
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA
Félix Delgado, Concha Fuertes, Sebastián Xambó: Introducción al álgebra. Vol. 1 y 2. Editorial Complutense, 1993.
COMENTARIO PROFESOR
Este libro está escrito en castellano y recoge la parte del programa de teoría de grupos. Tiene una abundante colección de problemas. En un libro aparte, los autores publican las soluciones de los ejercicios de este primer volumen y del segundo que recoge la parte del programa de teoría de anillos.
David S. Dummit, Richard M. Foote: Abstract Algebra. John Wiley & Sons, 2004 (1999, 1991).
COMENTARIO PROFESOR
Resulta particularmente didáctico para los alumnos. Cubre la teoría de grupos y la de anillos que vamos a ver. También tiene una gran colección de problemas.
Joseph A. Gallian: Contemporary Abstract Algebra. Houston Mifflin Company , 2006 (1998).
COMENTARIO PROFESOR
Si el anterior libro estaba especialmente hecho para los alumnos, este todavía le supera más en esa faceta. Trata las dos partes de anillos y grupos que vamos a ver, y se esfuerza en motivar todos los temas que trata. A su vez incluye al final de los capítulos reseñas sobre matemáticos con alguna relación con los asuntos tratados. En la colección de ejercicios distingue entre los propuestos para hacer con la ayuda de un ordenador y sin su ayuda. Sugiere también lecturas recomendadas para cada capítulo y páginas web y software interesantes relacionados con los temas.
Larry C. Grove: Algebra. Academia Press, 1983.
COMENTARIO PROFESOR
Es un libro ya clásico muy bien escrito y con muchos problemas propuestos. Explica las cosas con detalle, aunque no de forma tan didáctica como los dos anteriores. También recoge las dos teorías que veremos: la de grupos y la de anillos.
Thomas W. Hungerford: Algebra. Springer-Verlag, 1974.
COMENTARIO PROFESOR
También este es un libro clásico. Hay ediciones más modernas, pero no las tenemos en la Biblioteca. Todos los libros de esta bibliografía, con las ediciones que se citan están en la Biblioteca. Trata tanto la teoría de grupos como la de anillos. Es un muy buen libro.
Nathan Jacobson: Basic Algebra. Vol.1. W.H. Freeman and Company, 1985.
COMENTARIO PROFESOR
Este es sin duda un libro de obligada referencia. Con lo de de obligada referencia quiero decir que está escrito por un algebrista de un prestigio internacional muy grande. Este libro y el volumen 2 son un compendio muy completo de buena parte del álgebra. En este primer volumen introduce las teoría más básicas, entre ellas la de grupos y la de anillos.
Louis Rowen: Algebra. Groups, Rings and Fields. A. K. Peters, 1994.
COMENTARIO PROFESOR
Se trata de un libro sencillo hecho para alumnos de grado. El autor es un conocido especialista en teoría de anillos. A diferencia de los anteriores este libro es pequeño, y quizás puede resultar menos abrumador para los alumnos por este motivo. Tiene una bonita colección de problemas.


CONTEXTO
Muchos importantes objetos matemáticos, tales como las matrices con entradas reales, los polinomios con coeficientes reales, las permutaciones que podemos hacer con los elementos de un conjunto, se pueden operar, y con respecto a estas operaciones satisfacen unas propiedades concretas que hacen que digamos de ellos que son una estructura algebraica particular.
En el caso de las matrices y los polinomios, con las operaciones de suma y producto usuales, la estructura es la de anillo, y en el de las permutaciones, con loperación la composición, la estructura es la de grupo. Grupos y anillos, junto con espacios vectoriales (ya vistos en el primer curso) y cuerpos (que se ven en el segundo semestre) son las estructuras algebraicas más fundamentales de las matemáticas. Conocer propiedades y aspectos de estas estructuras de anillos y grupos ha sido de gran ayuda en matemáticas al estudiar cuestiones muy variadas, y por ejemplo ha permitido saber bastante sobre determinadas ecuaciones, las ecuaciones polinómicas.
En un principio, el nombre de Álgebra era sinónimo de una parcela de las matemáticas dedicada a resolver ecuaciones algebraicas, o dicho de otra manera, polinómicas, pero ya desde finales del siglo XIX, y sobre todo en el siglo XX, se trata de una parte de las matemáticas que estudia estructuras algebraicas, como por ejemplo la de anillo o grupo. Este cambio se debe a que la resolución de esas ecuaciones llevó al estudio de estas estructuras, que aparecen asociadas de formas muy curiosas. Conociendo estas estructuras se supo qué hacer con dichas ecuaciones en muchos casos.
COMPETENCIAS
Competencias generales
CG 1. Comprender el lenguaje matemático, enunciados y demostraciones, identificando razonamientos incorrectos, y utilizarlo en diversos problemas y aplicaciones.
CG 2. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
CG 3. Disponer de una perspectiva histórica del desarrollo de la Matemática y conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos.
CG 4. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir el conocimiento matemático adquirido.
CG 5. Saber abstraer las propiedades estructurales de objetos matemáticos y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos.
CG 8. Capacitar para el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.
Competencias específicas
CE 1. Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.
CE 2. Utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización, u otras, para experimentar en Matemáticas y resolver problemas.
CE 3. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.
CE 4. Encontrar soluciones algorítmicas de problemas matemáticos y de aplicación (de ámbito
académico, técnico, financiero o social), sabiendo comparar distintas alternativas, según criterios de adecuación, complejidad y coste.
TEMARIO
GRUPOS
1) Grupos, grupos finitos, subgrupos. Grupos cíclicos.
2) Grupos de permutaciones. Isomorfismos, Teorema de Cayley. Teorema de Lagrange. Productos directos.
3) Subgrupos normales. Homorfismos de grupos. Producto semidirecto.
4) Grupos abelianos finitos.

ANILLOS
1) Anillos, subanillos. Dominios de integridad. Ideales y cociente de un anillo y un ideal. Homomorfismos de anillos.
2) Anillos de polinomios. Factorización de polinomios.
3) Divisibilidad en Dominios de Integridad.