Teoría  de  Galois

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DEPARTAMENTO PROFESOR/ES
Matemáticas y Computación María del Pilar Benito Clavijo   (Responsable)
TITULACIONES EN LAS QUE SE IMPARTE LA ASIGNATURA
Titulación Carácter Curso Semestre Créditos Guía Docente
Grado en Matemáticas Obligatoria 3 Segundo Semestre 6 pdf
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA
Félix Delgado, Concha Fuertes, Sebastián Xambó: Introducción al álgebra. Vol. 2. Universidad de Valladolid, 1998.
COMENTARIO PROFESOR
Este libro está escrito en castellano. Tiene una abundante colección de problemas. En un libro aparte, los autores publican las soluciones de los ejercicios de este volumen. Es un buen libro de apoyo a esta asignatura.
Contemporary abstract algebra / Joseph A. Gallian
Fields and Galois theory / John M. Howie.
David S. Dummit, Richard M. Foote: Abstract Algebra. John Wiley & Sons, 2004 (1999, 1991).
COMENTARIO PROFESOR
Resulta particularmente didáctico para los alumnos. Tiene una buena colección de problemas.
Louis Rowen: Algebra. Groups, Rings and Fields. A. K. Peters, 1994.
COMENTARIO PROFESOR
Se trata de un libro sencillo hecho para alumnos de grado. El autor es un conocido especialista en teoría de anillos. A diferencia de los anteriores, salvo el primero, este libro es pequeño, y quizás puede resultar menos abrumador para los alumnos por este motivo. Tiene una bonita colección de problemas.
Field extensions and Galois theory / Julio R. Bastida ; with a foreword by Roger Lyndon.
Página web del autor y de recursos complementarios al libro de Gallian de la bibliografía básica
Página web de J.S. Milne y de recursos complementarios al libro Fields and Galois Theory (pdf del libro descargable)
Pagina web de Fernando Chamizo (profesor de la UAM). Contiene apuntes relacionados con la asignatura


CONTEXTO
Un problema crucial en álgebra ha sido resolver ecuaciones polinómicas. Pensando en la ecuación polinómica determinada por un polinomio en una variable, son conocidas desde hace 3.600 años (en la edad de piedra) las soluciones de la ecuación determinada por un polinomio de grado 2. Vienen dadas por la fórmula que todos conocemos. Hay también una fórmula para la de grado 3, pero hubo que esperar hasta el siglo XVI para obtenerla (se debe a Scipio di Ferro y a Nicolo Fontana, apodado Tartaglia ). Y también para la de grado 4, que se debe a Ludovico Ferrari, obtenida en el mismo siglo. No hay sin embargo una fórmula general para obtener las soluciones de una ecuación polinómica en una variable de grado mayor que 4. Tras innumerables esfuerzos de grandes matemáticos, tales como Leibniz, Euler, Bézout, Lagrange, Ruffini, Abel o Kronecker, para encontrar una fórmula como las conocidas, o demostrar que tal fórmula no existe, fue Evariste Galois quien con 21 años resolvió en problema dando razón exacta de qué ecuaciones concretas tenían una fórmula y cuáles no, y por qué las ecuaciones generales a partir de la de grado 4 no tenían solución. Su teoría estuvo perdida en el olvido hasta que Liouville la rescató den 1843.
Algo muy notable de ella es que dio lugar a la aparición de dos campos del álgebra hoy en día considerados básicos: la teoría de grupos y la de cuerpos. Sus implicaciones son muy numerosas. Los cuerpos finitos, por ejemplo, son fundamentales en teoría de la información, tanto en la teoría de códigos como en criptografía.
En la formación de un matemático está considerado como algo indispensable en su formación el conocer los conceptos de algebraico y trascendente y también un mínimo conocimiento de la estructura de cuerpo.
COMPETENCIAS
Competencias generales
CG 1. Comprender el lenguaje matemático, enunciados y demostraciones, identificando razonamientos incorrectos, y utilizarlo en diversos problemas y aplicaciones.
CG 2. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
CG 3. Disponer de una perspectiva histórica del desarrollo de la Matemática y conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos.
CG 4. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir el conocimiento matemático adquirido.
CG 5. Saber abstraer las propiedades estructurales de objetos matemáticos y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos.
CG 8. Capacitar para el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.
Competencias específicas
CE 1. Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.
CE 2. Utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización, u otras, para experimentar en Matemáticas y resolver problemas.
CE 3. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas
matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.
CE 4. Encontrar soluciones algorítmicas de problemas matemáticos y de aplicación (de ámbito
académico, técnico, financiero o social), sabiendo comparar distintas alternativas, según criterios de adecuación, complejidad y coste.
TEMARIO
1) Extensiones de cuerpos.
2) Teorema de Kronecker y clausura algebraica.
3) Cuerpos de escisión y extensiones normales.
4) Extensiones de Galois finitas.
5) Extensiones separables de cuerpos.
6) Aplicaciones de la Teoría de Galois