Topología  general

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DEPARTAMENTO PROFESOR/ES
Matemáticas y Computación María Teresa Rivas Rodríguez   (Responsable)
TITULACIONES EN LAS QUE SE IMPARTE LA ASIGNATURA
Titulación Carácter Curso Semestre Créditos Guía Docente
Grado en Matemáticas Obligatoria 3 Segundo Semestre 6 pdf
CONTEXTO
La asignatura de Topología General presenta un nuevo tipo de modelo matemático: los espacios topológicos, en los cuales es posible sistematizar, plantear y resolver ciertos problemas relativos a cuestiones de tipo esencialmente cualitativo más que cuantitativo, difícilmente abordables con otro tipo de técnicas. Esta asignatura permite además a los alumnos ampliar y comprender mejor algunos de los conocimientos geométricos o analíticos que han adquirido sobre la estructura de ciertos subconjuntos de R, Rn o espacios métricos más generales y aplicaciones continuas entre ellos. Puesto que la capacidad de abstracción, deducción lógica e imaginación en la aplicación de la teoría a casos concretos muy diversos es fundamental en esta asignatura, ésta contribuye de modo importante en la formación matemática y en la adquisición de conocimientos y técnicas aplicables a numerosas ramas científicas y técnicas.
COMPETENCIAS
Competencias generales: 
CG 1. Comprender el lenguaje matemático, enunciados y demostraciones, identificando razonamientos incorrectos, y utilizarlo en diversos problemas y aplicaciones.

CG 2. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.

CG 3. Disponer de una perspectiva histórica del desarrollo de la Matemática y conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas

CG 4. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir el conocimiento matemático adquirido.

CG 5. Saber abstraer las propiedades estructurales de objetos matemáticos y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos.

CG 8. Capacitar para el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.

Competencias específicas:

CE 1. Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.

CE 2. Utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización, u otras, para experimentar en Matemáticas y resolver problemas.

CE 3. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.

CE 4. Encontrar soluciones algorítmicas de problemas matemáticos y de aplicación (de ámbito académico, técnico, financiero o social), sabiendo comparar distintas alternativas, según criterios de adecuación, complejidad y coste.
TEMARIO
Tema I: ESPACIOS TOPOLÓGICOS
1.1.- Espacios topológicos. Ejemplos: Espacios (seudo)métricos
1.2.- Conceptos básicos
1.3.- Bases y subbases
1.4.- Entornos y entornos básicos
Tema II: APLICACIONES CONTINUAS
2.1.- Aplicaciones continuas
2.2.- Homeomorfismos
Tema III: CONSTRUCCIÓN DE ESPACIOS TOPOLÓGICOS
3.1.- Subespacios
3.2.- Espacios producto
3.3.- Espacios cociente
3.4.- Otras construcciones
Tema IV: CONVERGENCIA
4.1.- Sucesiones
4.2.- Redes
4.3.- Completitud en espacios métricos
Tema V: AXIOMAS DE SEPARACIÓN
5.1.- Espacios T0, T1 y de Hausdorff
5.2.- Espacios regulares
5.3.- Espacios completamente regulares
5.4.- Espacios normales
Tema VI: AXIOMAS DE NUMERABILIDAD
6.1.- Espacios 1º y 2º numerables
6.2.- Espacios separables
6.3.- Espacios de Lindeloff
6.4.- Teorema de metrización de Uryshon