Análisis  complejo

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DEPARTAMENTO PROFESOR/ES
Matemáticas y Computación Judit Mínguez Ceniceros  (Responsable)
TITULACIONES EN LAS QUE SE IMPARTE LA ASIGNATURA
Titulación Carácter Curso Semestre Créditos Guía Docente
Grado en Matemáticas Obligatoria 3 Segundo Semestre 6 pdf
CONTEXTO
En la asignatura “Análisis complejo” se estudian los métodos del Análisis matemático para el estudio de funciones analíticas de variable compleja. Se hace especial énfasis en la teoría de Cauchy para el desarrollo en serie de Laurent y la integración sobre curvas.
COMPETENCIAS
Competencias generales:
CG 1. Comprender el lenguaje matemático, enunciados y demostraciones, identificando razonamientos incorrectos, y utilizarlo en diversos problemas y aplicaciones.
CG 2. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
CG 3. Disponer de una perspectiva histórica del desarrollo de la Matemática y conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos.
CG 4. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir el conocimiento matemático adquirido.
CG 5. Saber abstraer las propiedades estructurales de objetos matemáticos y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos.
CG 8. Capacitar para el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.
Competencias específicas:
CE 1. Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.
CE 3. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.
CE 4. Encontrar soluciones algorítmicas de problemas matemáticos y de aplicación (de ámbito académico, técnico, financiero o social), sabiendo comparar distintas alternativas, según criterios de adecuación, complejidad y coste.
TEMARIO
-Números complejos. Geometría de los números complejos. Funciones elementales de variable compleja.
-Funciones holomorfas: Derivabilidad de las funciones de variable compleja. Interpretación geométrica. Condiciones de Cauchy-Riemann.
-Funciones analíticas: Series de potencias. Principio de prolongación analítica.
-Funciones elementales: Exponencial y logarítmica. Determinaciones univalente del logaritmo y del argumento. Funciones trigonométricas.
-Integración compleja: Integración sobre caminos. Construcción de funciones analíticas mediante integrales.
-Teoría de Cauchy: Teoría local de Cauchy y sus consecuencias. Índice.Teoría global de Cauchy. Conjuntos simplemente conexos.
-Series de Laurent: ceros y singularidades.
-Teorema de los residuos: Aplicación al cálculo de integrales y a la sumación de series. Aplicación a la localización de ceros.
-Transformaciones conformes: Transformaciones de Möbius. Teorema de la aplicación de Riemann.