Análisis  de  una  variable  real

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DEPARTAMENTO PROFESOR/ES
MATEMÁTICAS Y COMPUTACIÓN Oscar Ciaurri Ramírez   (Responsable)
TITULACIONES EN LAS QUE SE IMPARTE LA ASIGNATURA
Titulación Carácter Curso Semestre Créditos Guía Docente
Grado en Matemáticas Básica 1 Segundo Semestre 6 pdf
CONTEXTO
Tras haber cursado la asignatura de Cálculo infinitesimal, donde a los alumnos se les ha dotado de las herramientas básicas del cálculo, esta asignatura pretende introducir a los estudiantes en el rigor propio del análisis matemático. Existe una gran semejanza entre los contenidos de Cálculo infinitesimal y Análisis matemático en una variable real, sin embargo los objetivos y planteamientos de ambas asignaturas son esencialmente distintos. Mientras que la primera persigue la familiarización de los estudiantes con las técnicas elementales del cálculo; la segunda busca entender la profundidad de dichas técnicas, mediante el estudio razonado de los teoremas y proposiciones que componen la teoría, y el estudio riguroso de sus aplicaciones, mediante el análisis de ejemplos avanzados y contraejemplos. Este primer contacto con el análisis matemático permitirá a los estudiantes afrontar con seguridad otras asignaturas del módulo de análisis matemático.
Puesto que la asignatura tiene un carácter eminentemente teórico, planteamos una evaluación de la misma basada, fundamentalmente (tendrá un peso del 70% en la calificación final de la asignatura), en la elaboración de un portafolio en el que el estudiante incluirá ocho actividades distintas. Cuatro de ellas tratarán sobre cuestiones teóricas y otras tantas consistirán en la resolución de problemas de carácter avanzado. La elaboración del portafolio se complementará con la realización de un prueba en aula de informática (eliminatoria, véanse los criterios críticos de evaluación) , en la que se planteará la resolución de problemas relacionados con la asignatura con un programa de cálculo simbólico, y de una prueba de problemas (con un 30% de peso en la nota final).
COMPETENCIAS
Competencias generales: CG1, CG2, CG3, CG4, CG5, CG8.
• CG 1. Comprender el lenguaje matemático, enunciados y demostraciones, identificando razonamientos incorrectos, y utilizarlo en diversos problemas y aplicaciones.
• CG 2. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
• CG3. Disponer de una perspectiva histórica del desarrollo de la Matemática y conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos.
• CG 4. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir el conocimiento matemático adquirido.
• CG 5. Saber abstraer las propiedades estructurales de objetos matemáticos y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos.
• CG 8. Capacitar para el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.
Competencias específicas: CE1, CE2, CE3, CE4.
• CE 1. Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.
• CE 2. Utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización, u otras, para experimentar en Matemáticas y resolver problemas.
• CE 3. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.
• CE 4. Encontrar soluciones algorítmicas de problemas matemáticos y de aplicación (de ámbito académico, técnico, financiero o social), sabiendo comparar distintas alternativas, según criterios de adecuación, complejidad y coste.
TEMARIO
Tema 1. Funciones reales de variable real y continuidad.
1.1 Introducción axiomática de los números naturales, construcción de los números enteros, los números racionales y los números reales.
1.2 Funciones reales de variable real y límites de funciones.
1.3 Concepto de continuidad y continuidad uniforme.
1.4 Teoremas sobre funciones continuas.
Tema 2. Derivación de funciones.
2.1. Introducción histórica del concepto de derivada, definición de derivada y estudio de los primeros ejemplos.
2.2. Cálculo de derivadas
2.3. Teoremas sobre derivabilidad.
Tema 3. Integrabilidad de funciones.
3.1. Integral de Darboux e integral de Riemann.
3.2. Teoremas de integrabilidad.
3.3. Teorema fundamental del cálculo y sus consecuencias. Aplicaciones.
3.4. Integrales impropias y criterios de convergencia.
Tema 4. Sucesiones y series.
4.1. Sucesiones y series numéricas.
4.2. Sucesiones y series funcionales.
4.3. Convergencia uniforme.
4.4. Series de potencias.