Ecuaciones  diferenciales

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DEPARTAMENTO PROFESOR/ES
MATEMÁTICAS Y COMPUTACIÓN Daniel José Rodríguez Luis
TITULACIONES EN LAS QUE SE IMPARTE LA ASIGNATURA
Titulación Carácter Curso Semestre Créditos Guía Docente
Grado en Matemáticas Obligatoria 3 Primer Semestre 6 pdf
CONTEXTO


La asignatura de Ecuaciones diferenciales ordinarias es el primer contacto de los estudiantes del Grado en matemáticas con la teoría de ecuaciones diferenciales. En este curso se pretende que se familiaricen con las herramientas básicas para el estudio de este tipo de ecuaciones y que las comprendan como algo sumamente vinculado a la interpretación física del mundo.

Además, la asignatura debe servir a los estudiantes para comprender las interconexiones existentes entre ramas muy diversas de las matemáticas puesto que requiere del uso de técnicas y habilidades desarrolladas en otras asignaturas del grado aparentemente desvinculadas entre si.
Este primer contacto con el las ecuaciones diferenciales debe sentar las bases para que los estudiantes puedan afrontar con seguridad la asignatura de Ecuaciones en derivadas parciales, la otra parte del módulo de ecuaciones diferenciales, y estudios posteriores en esta u otras disciplinas que guarden algún tipo de vinculación con las ecuaciones diferenciales.

COMPETENCIAS
COMPETENCIAS GENERALES:

CG 1. Comprender el lenguaje matemático, enunciados y demostraciones, identificando razonamientos incorrectos, y utilizarlo en diversos problemas y aplicaciones.

CG 2. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.

CG 3. Disponer de una perspectiva histórica del desarrollo de la Matemática y conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos.

CG 4. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir el conocimiento matemático adquirido.

CG 5. Saber abstraer las propiedades estructurales de objetos matemáticos y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos. 

CG 8. Capacitar para el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS:

CE 1. Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.

CE 2. Utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización, u otras, para experimentar en Matemáticas y resolver problemas.

CE 3. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.

CE 4. Encontrar soluciones algorítmicas de problemas matemáticos y de aplicación (de ámbito académico, técnico, financiero o social), sabiendo comparar distintas alternativas, según criterios de adecuación, complejidad y coste.
TEMARIO
Tema 1. Métodos elementales de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias
En este primer tema introduciremos las técnicas clásicas de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Cada tipo de ecuación será introducida a partir de un ejemplo de modelización.
Contenidos:
1.1. Definiciones básicas y ejemplos
1.2. Ecuaciones en variables separadas.
1.3. Ecuaciones de tipo homogéneo. Reducibles a homogéneas.
1.4. Ecuaciones diferenciales exactas. Factores integrantes.
1.5. Ecuaciones lineales de primer orden.
1.6. Ecuación de Bernoulli y la ecuación de Riccati.
1.7. Otros métodos clásicos de resolución de ecuaciones.
Tema 2. Teoremas de existencia y unicidad. Soluciones aproximadas
Este capítulo estará centrado fundamentalmente en los teoremas de existencia y unicidad de solución para problemas de valores iniciales. Además, haremos una breve introducción a las soluciones aproximadas y a la resolución numéricas de ecuaciones diferenciales.
Contenidos:
2.1. El teorema del punto fijo de Banach.
2.2. El teorema de existencia y unicidad de Picard.
2.3. El teorema de existencia de Peano.
2.4. Soluciones aproximadas. Método de Euler.
Tema 3. Ecuaciones lineales de orden superior
En este capítulo desarrollaremos la teoría básica y las técnicas de resolución de ecuaciones lineales de orden superior tanto homogéneas como no homogéneas
Contenidos:
3.1. Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes.
3.2. Método de variación de las constantes.
3.3. Método de los coeficientes indeterminados.
Tema 4. Soluciones en serie de potencia

En este capítulo está centrado en la búsqueda de soluciones de una ecuación diferencial de segundo mediante su representación en serie de potencias centrada en un punto.
Contenidos:
4.1. Repaso de series de potencias.
4.2. Soluciones alrededor de un punto ordinario.


4.3. Soluciones alrededor de un punto singular regular. Teorema de Frobenius.
Tema 5. Sistemas de ecuaciones diferenciales
En este último capítulo abordaremos el estudio de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
Contenidos:
4.1. Repaso de autovalores y autovectores asociados a una matriz.
4.2. Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes.