La asignatura GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE SUPERFICIES completa los conocimientos básicos en geometría diferencial y topología adquiridos por los alumnos en las asignaturas previas de Curvas y Superficies y Topología general. Aquí se estudian las importantes propiedades topológicas de compacidad y conexión para espacios. En el caso particular de las superficies, además de analizar su topología y geometría, se estudian en ellas estructuras celulares, como las triangulaciones, y la característica de Euler. También se analizan diversos aspectos sobre las superficies en el contexto de la geometría diferencial.
COMPETENCIAS
COMPETENCIAS GENERALES:
CG 1. Comprender el lenguaje matemático, enunciados y demostraciones, identificando razonamientos incorrectos, y utilizarlo en diversos problemas y aplicaciones.
CG 2. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
CG 3. Disponer de una perspectiva histórica del desarrollo de la Matemática y conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos.
CG 4. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir el conocimiento matemático adquirido.
CG 5. Saber abstraer las propiedades estructurales de objetos matemáticos y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos.
CG 8. Capacitar para el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.
COMPETENCIAS ESPECÍFICAS:
CE 1. Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.
CE 2. Utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización, u otras, para experimentar en Matemáticas y resolver problemas.
CE 3. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.
CE 4. Encontrar soluciones algorítmicas de problemas matemáticos y de aplicación (de ámbito académico, técnico, financiero o social), sabiendo comparar distintas alternativas, según criterios de adecuación, complejidad y coste.
TEMARIO
CAPÍTULO I: PROPIEDADES DE COMPACIDAD
1.1.- Espacios compactos.
1.2.- Compacidad en espacios métricos.
1.3.- Espacios localmente compactos.
1.4.- Compactificaciones.
CAPÍTULO II: PROPIEDADES DE CONEXIÓN
2.1.- Espacios conexos.
2.2.- Espacios arco-conexos.
2.3.- Conexión y arco-conexión locales.
2.4.- Conexión en R<sup>n</sup>.2.5.- Propiedades básicas de las variedades topológicas.
CAPÍTULO III: VARIEDADES Y SUPERFICIES. SUMA CONEXA
3.1.- Variedades y superficies topológicas. Superficies de clase C<sup>p</sup>. Superficies de Riemann.
3.2.- Suma conexa de superficies.
3.3.- Orientación en superficies.
3.4.- El problema de la clasificación de superficies compactas.
CAPÍTULO IV: TRIANGULACIONES Y ESTRUCTURAS CELULARES DE SUPERFICIES COMPACTAS. CARACTERÍSTICA DE EULER
4.1.- Conjuntos semisimpliciales. Triangulaciones.
4.2.- Complejos celulares. Característica de Euler.
4.3.- Superficies semisimpliciales y orientaciones.
4.4.- Representaciones canónicas de superficies compactas y sumas conexas.
CAPÍTULO V: CLASIFICACIÓN DE SUPERFICIES COMPACTAS
5.1.- El Teorema de clasificación de las superficies compactas.
