Está situada en el primer semestre del cuarto curso del Grado en Matemáticas, y es la última asignatura obligatoria de Análisis Matemático dentro del Grado. En ella, comenzamos a ver el Análisis Matemático desde un modo abstracto.
COMPETENCIAS
COMPETENCIAS GENERALES:
CG 1. Comprender el lenguaje matemático, enunciados y demostraciones, identificando razonamientos incorrectos, y utilizarlo en diversos problemas y aplicaciones.
CG 2. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
CG 3. Disponer de una perspectiva histórica del desarrollo de la Matemática y conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos.
CG 4. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir el conocimiento matemático adquirido.
CG 5. Saber abstraer las propiedades estructurales de objetos matemáticos y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos.
CG 8. Capacitar para el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.
COMPETENCIAS ESPECÍFICAS:
CE 1. Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.
CE 3. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.
CE 4. Encontrar soluciones algorítmicas de problemas matemáticos y de aplicación (de ámbito académico, técnico, financiero o social), sabiendo comparar distintas alternativas, según criterios de adecuación, complejidad y coste
TEMARIO
I. Integración abstracta
Medidas positivas sobre una sigma álgebra.
Integración de funciones simples, positivas y con signo.
Teoremas de paso al límite.
Medidas producto y teorema de Fubini. II. Espacios de funciones
Espacios normados y completos.
Espacios de funciones integrables.
Aproximación por funciones continuas. III. Espacios de Hilbert
Productos escalares.
Proyección ortogonal.
Base ortonormal.
Identidad de Parseval.
Desarrollos de Fourier. IV. Operadores en espacios de Hilbert
Propiedades básicas y ejemplos.
Operador adjunto.
Proyecciones e idenpotentes.
Operadores compactos.
Teorema espectral.
