Geometrías  no  euclídeas

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DEPARTAMENTO PROFESOR/ES
MATEMÁTICAS Y COMPUTACIÓN Luis Javier Hernández Paricio
TITULACIONES EN LAS QUE SE IMPARTE LA ASIGNATURA
Titulación Carácter Curso Semestre Créditos Guía Docente
Grado en Matemáticas Optativa 4 Segundo Semestre 6 pdf
CONTEXTO


En esta asignatura se trata de completar el estudio de la geometría realizado por los alumnos en cursos anteriores, ofreciendo ahora una visión más amplia que introduce geometrías planas no euclídeas como la hiperbólica y la proyectiva, analizando algunas relaciones entre éstas y la geometría euclidea.




COMPETENCIAS
COMPETENCIAS GENERALES:
CG 1. Comprender el lenguaje matemático, enunciados y demostraciones, identificando razonamientos incorrectos, y utilizarlo en diversos problemas y aplicaciones.
CG 2. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
CG 3. Disponer de una perspectiva histórica del desarrollo de la Matemática y conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos.
CG 4. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir el conocimiento matemático adquirido.
CG 5. Saber abstraer las propiedades estructurales de objetos matemáticos y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos.
CG 8. Capacitar para el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.


COMPETENCIAS ESPECÍFICAS:
CE 1. Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.
CE 3. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.
CE 4. Encontrar soluciones algorítmicas de problemas matemáticos y de aplicación (de ámbito académico, técnico, financiero o social), sabiendo comparar distintas alternativas, según criterios de adecuación, complejidad y coste.

TEMARIO
En esta materia se dará un visión panorámica básica de las diferentes geometrías planas no euclídeas. Teniendo en cuenta el carácter optativo de la asignatura y la formación que tienen los matirculados en el cuarto curso del grado de matemáticas, se dejará al alumno el desarrollo de algunos de los items que se detallan en el programa.
CAPÍTULO I.- EL DESCUBRIMIENTO DE LAS GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS
1.1.- Los Elementos de Euclides
1.2.- Historia del Postulado de las Paralelas
1.3.- Descubrimiento de las geometrías no euclídeas
CAPÍTULO II.- PLANO EUCLÍDEO
2.1.- Propiedades básicas. Triángulos y circunferencias.
2.2.- Razón simple y razón doble. Cuaternas armónicas.
2.3.- Teoremas clásicos de Menelao, de Ceva, de Desargues y del Hexagrama místico de Pascal
2.4.- Transformaciones del plano euclídeo. Traslaciones, rotaciones, simetrías y homotecias
CAPÍTULO III.- PLANO INVERSIVO. AMPLIACIÓN DEL PLANO EUCLÍDEO POR UN PUNTO
3.1.- El plano inversivo de Gauss
3.2.- Transformaciones del plano inversivo. La inversión
3.4.- Aplicaciones de la inversión. Teoremas de Tolomeo, Antiguo de Pappus y de Feuerbach.
CAPÍTULO IV.- PLANO PROYECTIVO Y SECCIONES CÓNICAS
4.1.- Homografías. Alineaciones y haces homográficos
4.2.- Polos y polares respecto a una circunferencia. Puntos o rectas conjugados
4.3.- El principio de dualidad. Teoremas de Brianchon y de la Mariposa
4.4.- Perspectividades y proyectividades
4.5.- Secciones cónicas. Cónicas propias: elipse, parábola, hipérbola. Polos y polares respecto a una cónica. Teoremas generales de Brianchon, de la Mariposa, de Pascal y de Chasles.
4.6.- El Teorema de Chasles-Steiner para la caracterización de cónicas propias
CAPÍTULO V.- FUNDAMENTACIÓN AXIOMÁTICA PARA LA GEOMETRÍA PLANA
5.1.- Sistemas axiomáticos. Modelos. Axiomas de Hilbert
5.2.- Axiomas de incidencia. Propiedades de paralelismo: Elíptico, Parabólico o Euclídeo, e Hiperbólico. Planos afines y planos proyectivos. Relación entre ellos y modelos
5.3.- Axiomas de orden, congruencia y continuidad. Geometría neutral. Puntos medios y bisectrices. Medidas de segmentos y ángulos. Cuadriláteros de Saccheri y Lambert. Suma de los ángulos de un tirangulo
5.4.- El axioma de las paralelas: Geometría euclídea y geometría hiperbólica
CAPÍTULO VI.- EL PLANO HIPERBÓLICO
6.1.- Exploradores y descubridores de la geometría hiperbólica. Gauss, Bolyai y Lobachevski
6.2.- Nociones y propiedades hiperbólicas básicas. Rayos paralelos límites. Ángulo de paralelismo. Congruencia de triángulos. Defecto y área de un tirangulo
6.3.- Modelos euclídeos para la geometría hiperbólica: Disco y semiplano de Poincaré.y disco de Beltrami-Klein. Isomorfismos entre modelos. La seudoesfera
6.4.- Relaciones con la esfera de radio imaginario